Essa é a minha saudação para os meus alunos Corinthianos

Excursão da E.E. Prof. Ennio Voss à Casa Modernista

Excursão da E.E. Prof. Ennio Voss à Casa ModernistaSalvar agora

Lista de Exercícios (deverá ser entregue no dia da prova)

Olá.....

Esta é a lista de exercícios que devera ser entregue no dia da Prova.

Estude-a muito bem, pois assim você ira muito bem na prova.

Boa sorte

O que lhe parece 1 trilhão de dólares?

O que lhe parece 1 trilhão de dólares? 

Toda essa conversa de "pacote de estímulos" e "salvamentos financeiros..."
1 bilhão de dólares...
100 bilhões de dólares...
800 bilhões de dólares...
1 TRILHÃO de dólares...
O que isso significa?   
Bem, vamos começar com uma nota de $100 dólares. 
Atualmente, esta é a maior nota em circulação nos E.U.A. 
Muitas pessoas já viram uma delas, poucos possuem uma no bolso, e é garantia de fazer amigos onde quer que vá.

Um pacote de cem notas de  $ 100 dólares é inferior a 1 / 2 polegada de espessura e contém $ 10.000 dólares. Encaixa facilmente no seu bolso e é mais do que suficiente para uma semana ou duas de diversão da pior (ou melhor) espécie.

Acredite ou não, esta pequena pilha abaixo é de US $ 1 milhão de dólares (100 pacotes de $ 10.000). Você poderia colocar esta quantia em um saco de papel de supermercado e passear por aí com ele facilmente.

Enquanto que a merreca de $ 1 milhão parece bem inexpressiva, $ 100 milhões é um pouco mais respeitável. Ele se encaixa perfeitamente em um palete de madeira padrão, veja:

e $ 1 bilhão de dólares...agora parece que estamos chegando a algum lugar...

Em seguida, vamos olhar para um trilhão de dólares. Este número é o que temos ouvido nos últimos meses, nas notícias do mercado financeiro e sobre a crise mundial. O que é um trilhão de dólares? Trata-se de um milhar de milhões. É o número 1 seguido por 12 zeros. 
Está pronto para isto? É bastante surpreendente. 

Vá em frente ... 

Role para baixo ... 


Senhoras e senhores ... Eu lhes apresento o tamanho de  $ 1 trilhão de dólares ...

(E repare que os paletes são pilhas duplas) 
Portanto, da próxima vez que você ouvir alguém falar por aí sobre "trilhões de dólares" ... isso é o que eles estão falando. 
Este é o tamanho da conversa!!!

Máximo Divisor Comum

Máximo Divisor Comum

  Dois números naturais sempre têm divisores comuns. Por exemplo: os divisores comuns de 12 e 18 são 1,2,3 e 6. Dentre eles, 6 é o maior. Então chamamos o 6 de máximo divisor comum de 12 e 18 e indicamos m.d.c.(12,18) = 6.

O maior divisor comum de dois ou mais números é chamado de máximo divisor comum desses números. Usamos a abreviação m.d.c.

        Alguns exemplos:
         mdc (6,12) = 6
         mdc (12,20) = 4
         mdc (20,24) = 4
         mdc (12,20,24) = 4
         mdc (6,12,15) = 3

• CÁLCULO DO M.D.C.

            Um modo de calcular o m.d.c. de dois ou mais números é utilizar a decomposição desses números em fatores primos.

1) decompomos os números em fatores primos;
2) o m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns.

Acompanhe o cálculo do m.d.c. entre 36 e 90:
36 = 2 x 2 x 3 x 3
90 =       2 x 3 x 3 x 5

O m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns =>   m.d.c.(36,90) = 2 x 3 x 3
Portanto m.d.c.(36,90) = 18.

Escrevendo a fatoração do número na forma de potência temos:
36 = 2² x 3²
90 = 2  x 3² x5
Portanto m.d.c.(36,90) = 2 x 3² = 18.

O m.d.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns a eles, cada um elevado ao menor expoente.

 

• CÁLCULO DO M.D.C. PELO PROCESSO DAS DIVISÕES SUCESSIVAS

            Nesse processo efetuamos várias divisões até chegar a uma divisão exata. O divisor desta divisão é o m.d.c. Acompanhe o cálculo do m.d.c.(48,30).

    Regra prática:

    1º) dividimos o número maior pelo número menor;
            48 / 30 = 1 (com resto 18)

    2º) dividimos o divisor 30, que é divisor da divisão anterior, por 18, que é o resto da divisão anterior, e assim sucessivamente;
            30 / 18 = 1 (com resto 12)

            18 / 12 = 1 (com resto 6)

            12 / 6 = 2 (com resto zero - divisão exata)

    3º) O divisor da divisão exata é 6. Então m.d.c.(48,30) = 6.

• NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI

Dois ou mais números são primos entre si quando o máximo divisor comum desses números é 1.

        Exemplos:
         Os números 35 e 24 são números primos entre si, pois mdc (35,24) = 1.
         Os números 35 e 21 não são números primos entre si, pois mdc (35,21) = 7.
  

• PROPRIEDADE DO M.D.C.

         Dentre os números 6, 18 e 30, o número 6 é divisor dos outros dois. Neste caso, 6 é o m.d.c.(6,18,30). Observe:

  6 = 2 x 3
18 = 2 x 3²
30 = 2 x 3 x 5
Portanto m.d.c.(6,18,30) = 6

Dados dois ou mais números, se um deles é divisor de todos os outros, então ele é o m.d.c. dos números dados.

Mínimo Múltiplo Comum

Mínimo Múltiplo Comum

• MÚLTIPLO DE UM NÚMERO NATURAL

        Como 24 é divisível por 3 dizemos que 24 é múltiplo de 3.
        24 também é múltiplo de 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24.

Se um número é divisível por outro, diferente de zero, então dizemos que ele é múltiplo desse outro.

        Os múltiplos de um número são calculados multiplicando-se esse número pelos números naturais.

        Exemplo: os múltiplos de 7 são:
                            7x0 , 7x1, 7x2 , 7x3 , 7x4 , ...  =  0 , 7 , 14 , 21 , 28 , ...

        Observações importantes:
        1) Um número tem infinitos múltiplos
        2) Zero é múltiplo de qualquer número natural

 

• MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C.)

            Dois ou mais números sempre têm múltiplos comuns a eles.

            Vamos achar os múltiplos comuns de 4 e 6:
            Múltiplos de 6:  0, 6, 12, 18, 24, 30,...
            Múltiplos de 4:  0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,...
            Múltiplos comuns de 4 e 6:  0, 12, 24,...

            Dentre estes múltiplos, diferentes de zero, 12 é o menor deles. Chamamos o 12 de mínimo múltiplo comum de 4 e 6.

O menor múltiplo comum de dois ou mais números, diferente de zero, é chamado demínimo múltiplo comum desses números. Usamos a abreviação m.m.c.

 

• CÁLCULO DO M.M.C.

            Podemos calcular o m.m.c. de dois ou mais números utilizando a fatoração. Acompanhe o cálculo do m.m.c. de 12 e 30:

    1º) decompomos os números em fatores primos
    2º) o m.m.c. é o produto dos fatores primos comuns e não-comuns:

                   12   =  2  x  2  x  3
                   30   =          2  x  3   x  5
        m.m.c (12,30)  = 2  x  2  x  3   x  5

        Escrevendo a fatoração dos números na forma de potência, temos:
        12 = 2²  x  3
        30 = 2   x  3  x  5 
        m.m.c (12,30)  = 2²  x  3  x  5

O m.m.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns e não-comuns a eles, cada um elevado ao maior expoente.

   

• PROCESSO DA DECOMPOSIÇÃO SIMULTÂNEA

Neste processo decompomos todos os números ao mesmo tempo, num dispositivo como mostra a figura ao lado. O produto dos fatores primos que obtemos nessa decomposição é o m.m.c. desses números. Ao lado vemos o cálculo do m.m.c.(15,24,60)             Portanto, m.m.c.(15,24,60) = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 120

 

• PROPRIEDADE DO M.M.C.

         Entre os números 3, 6 e 30, o número 30 é múltiplo dos outros dois. Neste caso, 30 é o m.m.c.(3,6,30). Observe:

m.m.c.(3,6,30) = 2 x 3 x 5 = 30

Dados dois ou mais números, se um deles é múltiplo de todos os outros, então ele é o m.m.c. dos números dados.

         Considerando os números 4 e 15, ques são primos entre si. O m.m.c.(4,15) é igual a 60, que é o produto de 4 por 15. Observe:

m.m.c.(4,15) = 2 x 2 x 3 x 5 = 60

Cálculo do MMC e MDC

O cálculo do mmc e mdc são conteúdos que aprendemos no 6º ano do ensino fundamental, mas que muitos alunos chegam às séries mais avançadas sem saber como fazer tais cálculos. 

Para o cálculo tanto do mmc e do mdc é necessário ter o conhecimento do que é os múltiplos e divisores de um número natural. 

Múltiplos 

45 é múltiplo de 5, pois existe um número natural que multiplicado por 5 resulta em 45 (5 x 9 = 45). 

Exemplo: 
M(4) = 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32,... 
M(10) = 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60,... 
M(8) = 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56,... 

Divisores 

Para que um número natural seja divisível de outro é preciso, ao dividirmos os dois números, que o resto seja igual a zero. Não é necessário que efetuemos a divisão em alguns casos para que saibamos se é divisível ou não, podemos utilizar do critério de divisibilidade. 

Exemplo: 
D(20) = 1, 2, 4, 5, 10,20 
D(25) = 1, 5,25 
D(100) = 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100 

Mínimo múltiplo comum (mmc) 

O próprio nome já diz, é o cálculo do menor múltiplo comum entre dois ou mais números naturais. 

Por exemplo: Se quisermos calcular o mínimo múltiplo comum de 40 e 30, devemos encontrar os seus respectivos múltiplos. 

M(40) = 0, 40, 80, 120, 160, 200, 240,... 
M(30) = 0, 30, 60, 90, 120, 150,... 

Observando os múltiplos encontrados, o menor múltiplo comum (não contamos com o zero) é o 120, portanto o mmc (40,30) = 120. 

Existe outra forma de calcular o mmc, é um processo que fazemos uso da decomposição em fatores primos dos números e depois multiplicamos os valores primos encontrados na fatoração, veja: 



Máximo divisor comum (mdc) 

No mmc precisamos encontrar os múltiplos de um número e no mdc é preciso encontrar os divisores e depois encontrar o maior divisor comum entre eles. 

Por exemplo: Para calcularmos o mdc de 50 e 15, devemos encontrar os seus respectivos divisores. 

D(50) = 1, 2, 5, 10, 25, 50. 
D(15) = 1, 3, 5, 15. 

Dentre os divisores de 50 e 15, o 5 é o maior divisor comum que eles têm, portanto o mdc (50,15) = 5. 

O cálculo do mdc também pode ser realizado com a fatoração em fatores primos. 



Portanto, concluímos que ao fatorar dois ou mais números, o cálculo do mdc será calculado com a multiplicação dos fatores primos comum aos termos.